FRATTALI di NEWTON

In questa sezione vediamo i frattali che si ottengono con il

metodo di Newton (applicato al piano complesso)

che è uno schema per la risoluzione di equazioni attraverso approssimazioni sempre migliori, questo metodo era già vecchio al tempo di Newton, dato che già i greci ne conoscevano uno per estrarre le radici quadrate.
Si parte con una congettura sufficientemente precisa della radice, questa porta ad una congettura migliore e ripetendo il processo, che richiede poche operazioni per ogni iterazione, si arriva alla soluzione.
Per risolvere l'equazione x^2 - 1 = 0 si hanno 2 soluzioni sia sulla linea dei numeri reali sia sul piano complesso, ossia x= 1 o x= -1.
Il problema cambia quando l'equazione è x^3 - 1= 0 in questo caso sulla retta dei reali la soluzione è solo una cioè x= 1 mentre sul piano complesso avremo 3 soluzioni ossia X= 1 poi abbbiamo -0.5 +i 0,866... e poi -0,5 -i 0.866...
Se pensate al piano complesso come ad un orologio vedreste questi 3 numeri piazzati, uno sulle ore tre, uno sulle sette e l'ultimo sulle undici, queste tre posizione se unite con una linea, formerebbero un triangolo equilatero. Nel piano complesso l'ennesima radice ha n soluzioni, per esempio l'equazione x^4 -1 =0 ha 4 soluzioni vale a dire 1, +i, -1, e -i che se piazzate sempre sull'orologio segnerebbero le 3, le 12, le 9, e le 6, a questo punto probabilmente avrete già capito che le i =(numero immaginario)segnano la parte superiore dell'orologio se positive ed inferiore se negative, mentre i numeri che

non

sono precedeuti o seguiti da una i sono detti reali e sull'orologio rappresentano il lato a sinistra del centro dell'orologio se sono negativi e il lato destro se sono positivi.
Ho usato l'orologio come riferimento perchè tutte le soluzioni delle equazioni x^n -1 =0 hanno n soluzioni nel piamo complesso e si trovano tutte su un determinato punto di una circonferenza di raggio 1 e con centro zero, naturalmente il piano complesso normalmente viene rappresetato come un quadrato con una retta orrizzontale che rappresenta i numeri reali ed una verticale che rappresenta i numeri immaginari, le due rette si incrociano nel centro del piano che corrisponde al numero zero sia per i reali che per gli immaginari, come detto prima, a destra dello zero ci sono i reali positivi a sinistra quelli negativi mentre a nord dello zero ci sono gli immaginari positivi e a sud quelli negativi ed ora dopo questo piccolo chiarimento torniamo alla nostra equazione x^3 -1 = 0 perchè analizzandola graficamente presenta un comportamento interessante, infatti le tre radici agiscono come tre attrattori, come se fossero tre pianeti con il proprio bacino d'attrazione dove ruotano i propri satelliti ( rappresentati dai numeri che portano alla soluzione di ogn'una delle tre radici) l'interessante è che se si colorano i numeri dei tre bacini di attrazione con tre colori diversi ad esempio verde rosso e blu , non si ottengono tre spicchi dai confini netti, ma al confine tra il rosso e il blu si formano delle gemme che contengono anche il colore verde, lo stesso succede al confine tra il rosso ed il verde dove le gemme contengono il blu e la stessa cosa succede al confine con il blu ed il verde. Queste gemme se vengono ingrandite ripresentano la stessa struttura del grafico originale.
Il metodo di Newton non è il più efficiente per trovare le radici delle equazioni complesse appena viste, se si usano le funzioni coseno e seno abbiamo la soluzione in pochi passaggi, ad esempio per trovare le tre radici terze che si trovano su una circonferenza unitaria, basta dividere i 360 gradi della circonferenza in tre archi di cerchio ossia 3 archi di 120 gradi poi applicando le funzioni coseno e seno al primo arco ossia a 120 gradi avremo subito la prima radice -0.5 +i 0,866 (-0.5 è il coseno e corrisponde alla parte reale del numero complesso , mentre 0.866 è il seno che corrisponde alla parte immaginaria) poi per la seconda radice si somma il secondo arco al primo ed otteniamo 240 gradi e le due funzioni daranno rispettivamente -0.5 -i 0,866 infine per la terza radice sommiamo il terzo arco ottenendo 360 gradi che le funzioni coseno e seno daranno come risultato rispettivamente 1 e i = 0.
Il metodo di Newton viene usato perchè il suo algoritmo richiede un certo numero di passaggi prima di approssimare il risultato, ed è assegnando il numero dei passaggi al numero del colore abbinato al pixel in esame, che otteniamo i bacini d' attrazione che evidenziano un comportamento altamente frattale, inoltre colorando il grafico non solo in base al numero dei cicli utilizzati, ma anche i numeri relativi alle coordinate della parte reale e della parte immaginaria del numero complesso si ottengono delle immagini graficamente interessanti.

Queste sotto sono immagini della radice terza ottenute con le funzioni seno e coseno che evidenziano la grande differenza con quelle ottenute usando il metodo di Newton.






Come si può vedere dalla prima immagine i tre puntini neri al centro dei tre cerchi colorati rappresentano le tre approssimazioni migliori delle tre radici, ma poichè utilizzando le funzioni seno e coseno il risultato non richiede che un paio di passaggi i colori sono assegnati in base alla vicinanza della soluzione e ai relativi bacini di attrazione.
La seconda, la terza e la quarta immagine sono il risultato di un tentativo di legare insieme le tre soluzioni per ottenere immagini un poco più accativanti, ma come potete vedere non si possono, o almeno io non sono riuscito ad ottenere immagini spettacolri paragonabili a quelle ottenute con il metodo di Newton.

Biblio
CAOS La nascita di una nuova scienza. -di J. GLEICK -ed. Biblioteca scientifica Sansoni
titolo originale CHAOS ISBN 88-383-1704-6

Grafica matematica con il personal computer. - di Attilio Comi - ed. McGraw Hill
ISBN 88-386-0203-4